„Falsche Magnituden“ und eine Formel, die realistischere Zahlen liefert ? (repariert nach Server crash))

Zur Abwechslung mal was Theoretisches !

Ich denke, jeder Hobby-Astronom hat schon mal die Erfahrung gemacht, daß bei Beobachtung von flächenhaften (nicht sternförmigen) Objekten am Himmel eine „Verdünnung“ / („Dilution") der Helligkeit eintritt: man findet - auch unter dunkle(re)m Himmel - Objekte einfach nicht, die eigentlich, von derGrenzgröße des Teleskops her, erreichbar sein müßten (siehe z.B. die Galaxien M 33 im Dreieck, M 74 in den Fischen, M 101 im Großen Bären, usw.).

Eine Diskussion mit Mark über Kontrast in diesem Beitrag: First light Baumarktteleskop und eine kürzlich gemachte persönliche Erfahrung mit NGC 891 in Andromeda hat mich daran erinnert, daß ich die Flächenhelligkeits-Problematik schon mal verstehen wollte und mich zu diesem Beitrag inspiriert.

1. Lichtflecken (Nebel) als „breitgetretene“ Lichtpunkte (Sterne)

Die Tatsache, daß ich Schwierigkeiten hatte, NGC 891 zu finden, obwohl das mit meinem Teleskop leicht gehen müßte, hat ziemlich offensichtlich nicht nur mit derLichtverschmutzung zu tun (ich war im Schwarzwald auf 1000 m Höhe), sondern auch mit der Magnituden-Skala. Manchmal scheinen die Magnituden einfach nicht zu stimmen.

Die Erklärung scheint zu sein, daß die Helligkeiten der meisten Objekte offenbar photographisch bestimmt worden sind, obwohl die in Katalogen angegebenen Helligkeiten als m vis also „visual magnitude“ bezeichnet werden. Also muß also die Kamera Flächenhelligkeiten („Nebel“) irgendwie „anders und besser“ sehen, als das Auge.

Ich vermute mal, daß Fotoapparate (schwach) leuchtende Flächen besser auf einen Punkt zusammenzuführen können und so - für das Auge - eigentlich zu viel zu hellen Magnituden führen.
[Falls jemand das besser und richtiger erklären kann, ich wäre dankbar].

Bei Sternen entsteht eine solche Differenz offensichtlich nicht.

Für das Auge ist somit ein "breitgetretener" Punkt in Form eines (kleinen, nicht vergrößerten) nebelförmigen Flecks mit - vom Standpunkt des Fotoapparates aus gesehen - gleicher Helligkeit (= m vis), viel schwieriger zu erkennen, als ein „konzentrierter“ Lichtpunkt (Stern). Dies verfälscht die (oft mit dem Fotoapparat) gewonnenen Magnituden-Angaben für das Auge, aber ausschließlichfür “neblige“ und nicht für punktförmige Objekte.

2. Zauber-Formel zur Berechnug der „richtigen“ Helligkeit für das Auge ?

Wenn man mal von obigem ausgeht [wie gesagt, falls jemand eine bessere Erklärung hat, bitte melden], stellt sich generell folgende Frage:

Wie kann man, bei der Vorbereitung eines Beobachtungsabends, herausfinden, welche (korrigierte = Flächen-) Helligkeit ein Nebel nun wirklich hat, um eine Chance zu haben „ihn zu erwischen“?
Man muß wohl die (fotographisch gewonnene) Punkt-Helligkeit (siehe die obige Annahme: „Fotoapparate „verstehen“ auch - kleinere - leuchtende Flächen alseinen Punkt“) irgendwie in eine (schwächere) Flächen-Helligkeit umrechnen.

Man kann dazu natürlich Kataloge bemühen, die Flächen-Helligkeiten angeben, wie den SAC 8.0 vom Saguaro Astronomy Club. Aber erstens geben sehr viele Bücher und Kataloge nur m vis an und man müßte dann immer noch zusätzlich den SAC dabei haben, wenn man gerade einen bestimmte Galaxie sucht, und zweitens lernt man dabei nicht, das Problem „wirklich“ zu verstehen.

Ein Formel für den Taschenrechner wäre besser.

Aber wie geht das, so einfach wie möglich, d.h. mit einer einfachen Formel?

[Fortsetzung folgt; wie gesagt, wenn Ihr bessere ErkLärungen für das soeben Gesagte habt, bitte melden !]

Keiner hat über die Voraussetzungen gemeckert, ... also dann belästige ich Euch mal weiter .

3. Der Ringnebel in der Leier als Standardkerze

[Die folgenden Überlegungen und Ausführungen sind nicht nur „auf meinem Mist gewachsen“; ganz im Gegenteil: sie stammen zu einem großen Teil aus Beiträgen zum ThemaFlächenhelligkeit auf einem frühen amerikanischen Forum („The Astronomy Connection“), die ich mal gesammelt und gespeichert habe (weil ich das damals, wie heute, nicht (richtig) verstanden habe), die aber nicht mehrauffindbar sind.

Dank also an:

Frank Loso 1992
Edward Collet 1996
Ernie Wright 1998 ].

Wie gesagt, man könnte die Flächenhelligkeit m fl (im Verhältnis zu m vis) als die für das Auge wieder auf einen Punkt (Stern) zurückgeführte Magnitude eines „flächigen“ Objektes definieren.

Als Bezugspunkt (Referenzobjekt) für die Umrechnung bräuchte man dann ein nicht zu helles und nicht zu dunkles nebliges Objekt, welches nicht zu großflächig ist, damit es irgendwie noch punktförmig erscheint („noch genügend Punkt ist“),das aber dennoch ein Nebel und kein Stern ist.

Kleine, runde planetarische Nebel scheinen ideal als solcher ein Bezugspunkt für die Umrechnung. Nehmen wir also den Ringnebel, der 70“ (Bogensekunden) im Durchmesser hat und mit 9,0 mag auchnicht zu lichtschwach ist.

„Referenzobjekt“ bedeutet, daß man dann davon ausgeht, daß bei allen flächigen Objekten mit den Maßen und der visuellen Helligkeit bis maximal denen des Ringnebels, die - neu zu bestimmende - Flächenhelligkeit (noch) gleich (=) der visuellen Helligkeit ist. Bei größeren Flächen entsteht dann durch die neue Referenz (im Verhältnis zur Magnitudenskala)eine neue schwächere Helligkeit des Zielobjektes, bei kleineren Objekten umgekehrt eine größere.

Nochmals: dies gilt nur fürs Auge und nicht für Fotoapparate.

...

Die Umrechnung wäre relativ einfach, ... ... wenn die Magnitudenskala nicht ... logarithmisch wäre.

4. Magnitudenskala = Logarithmus

[Ich bin, wenn überhaupt, dann - von der Ausbildung her - ein „Geistes- Wissenschaftler“ und allenfalls hobbymäßig an „Naturwissenschaften“ und nur peripher an „höherer“ Mathematikinteressiert. ... ... ... Der Logarithmus war schon immer ein „Horror“ für mich].

Ich mußte also, um mit der Formel (intellektuell) weiterzukommen, erst mal den Logarithmus verstehen.

Wikipedia ( https://de.wikipedia.org/wiki/Scheinbare_Helligkeit ) sagt dazu Folgendes:

„Die heutige Skala zur Messung der scheinbaren Helligkeit geht auf die griechischen Astronomen Hipparch (ca. 190–120 v. Chr.) und Ptolemäus (ca. 100–175 n. Chr.) zurück, welche die Sterne nach ihrer - mit bloßem Auge wahrgenommenen - Helligkeit in sechs Größenklassen einteilten.“

„[Um das ganze wissenschaftlich nachprüfbar zu machen], wurde die Helligkeitsskala 1850 von Norman Pogson [in ein Schema gepresst, welches] logarithmisch definiert [ist], so daß ein Stern 1. Größe genau 100-mal so hell ist wie ein Stern 6. Größe“.

Die Zahl 100 kann man auch 10^{hoch 2} (= 10²) schreiben, die Zahl 1000 auch 10^{hoch 3} (=10³); weil 10 x 10 = 10^quadrat = 100 und 10 x 10 x 10 = 10^kubus = 1000 ist. In diesem Fall ist der Logarithmus = der Exponent / die Hochzahl, während 10 die Basis ist.

Der Herr Pogson ist die Sache aber umgekehrt angegangen. Er hat sich gesagt: wenn die 1. Größenklasse 100 mal so hell leuchten soll, wie die6., muß ich die 5 Abstände zwischen den Größenklassen so wählen, daß eine - noch zu fixierende- Basis, 5x mit sich selbst multipliziert = 100 ergibt.

Anders ausgedrückt: x ^{hoch 6} (= 5 Selbst-Multiplikationen mit der Basis) sollen = 100 ergeben. Wenn man diese Basis gefunden hat, dann ist die Leuchtkraft eines Sterns der 1.Größenklasse das Quadrat der Leuchtkraft der 2. Größenklasse, der Kubus der Leuchtkraft der 3., die 4. Potenz der Leuchtkraft der 4., die 5. Potenz der Leuchtkraft der 5. und die 6. Potenz der Leuchtkraft der 6. Größenklasse.

Von der Leuchtkraft der 6. Größenklasse aus erhält man also die Leuchtkraft der 1. Größenklasse, indem man die Leuchtkraft der 6. Klasse 5x mit sich selbst multipliziert; die leuchtkraft der 5. Klasse erreicht man, indem man die Leuchtkraft der 6. Klasse 1x mit sich selbst multipliziert.

Die Basis = das „x“ in obiger Formel für eine solche Reihe, die bei 6 Größenklassen 100 erreicht ist 2,512.

Tabellarisch sieht das Ganze dann so aus:

Dieses war der zweite Streich ... und wenn Ihr noch nicht eingeschlafen seit , gibt es beim nächsten mal die Formel.

Clear Skies

So, jetzt kommt die "Stunde der Wahrheit" (= der Moment, wo es kritisch wird) für einen Nicht-Mathematiker.
Also bitte "zerreißt" mich nicht, wenn etwas nicht stimmt: ich wollte nur über meine Verständnis-Schwierigkeiten berichten und "aufklären" (obwohl Ihr ja alle aufgeklärt seit also ich hatte nur gute Absichten !

5. Die Formel

Nach obigen Vorbereitungen, scheint jezt es leichter, mit einer einfachen Formel, unter Bezugnahme auf den Ringnebel, die Flächenhelligkeit (= „richtige“ Magnitude von Nebeln für dasAuge) auszurechnen.

Der Ringnebel hat 9,0 mag. Sein Durchmesser Ø ist 70“ (Bodensekunden).

Man kann dann also folgende Formel aufstellen:

M fl (Z) = M vis (R) - log [ (Ø R / Ø Z) ² x 2,512 ^{(M vis (R) - M vis (Z))} ] / (1 / 2,512)

Das Ganze sieht jetzt sehr kompliziert aus, aber man kann die Formel noch erheblich (!) vereinfachen.

Dazu gleich, zunächst aber muß ich mal erklären:

M fl (Z) ist die Flächenhelligkeit ( = korrigierte visuelle Magnitude) des aufzusuchenden ZielObjekts
M vis (Z) ist die visuelle Helligkeit des Zielobjektes, welches man aufsuchen will (aus Katalog)
M vis (R) ist die visuelle Helligkeit des Referenzobjektes ( = des Ringnebels), also immer 9.0 mag
Ø Z ist der Durchmesser, immer (!) in Bogensekunden, des Zielobjektes (auch aus Katalog)
Ø R ist der Durchmesserdes Ringnebels = immer 70“

Wegen dem "immer" in obiger Erklärung, kann man also zunächst mal die konkreten Zahlen des Ringnebels in die Formel einsetzen

Dann sieht die Formel (schon einfacher) = so aus:

M fl (Z) = 9,0 - log [ (70“ / Ø Z) ² x2,512 ^{(9,0 - M vis (Z))} ] / (1 / 2,512)

Aber was ist da sonst noch "drin", in der Formel ?

Erster Klammer-Ausdruck (der zwischen den runden Klammern): der Flächen-Umrechnungsfaktor

Wie man an dem Quadrat (hoch 2) in dem Bruch in den (runden) Klammern (= 70“ / Ø Z) sieht, setzt dieser Formelteil (über den Durchmesser (!)) die Fläche des Zielobjektes ins Verhältnis zum Ringnebel.

Die Fläche des Ringnebels ist "über dem Bruchstrich"; wenn also der Bruch > 1 ist (z.B.: 1,5 = 150%), dann ist der Ringnebelflächenmäßig größer als das Zielobjekt; umgekehrt, wenn der Bruch < 1 ist (z.B.: 0,7 = 70%), ist M 57 flächenmäßig kleiner als das Zielobjekt.

Mit dem ersten Formelteil wird ausgdrückt, wieviel die Fläche des Zielobjekt-Nebels dazu beiträgt, daß das Zielobjekt heller (wegen der größeren „Konzentration“ des Lichts bei kleinerer Fläche) oder dunkler (wegen des „Breittretungseffekts“ des Lichtpunkts bei größerer Fläche) im Verhältnis zu M 57 erscheinen würde, wenn beide die gleiche Helligkeit hätten.

[Man kann natürlich außer dem Durchmesser auch die Länge x Breite der Objekte benutzen, um sie ins Verhältnis zu setzen; aber das macht das Ganze nur komplizierter,ohne großen Genauigkeits-Gewinn, außer vielleicht bei „Superthin-Galaxien“. Wenn man den Durchmesser benutzt, ist die Formel sowohl für Galaxien, die man „von oben“ sieht, als auch für „Edge-ons“ erstaunlichgenau; ich habe das am SAC-Katalog getestet. (Keine Ahnung, welche Formel die verwendet haben). Wenn man den Durchmesser nicht hat, aber Länge und Breite, kann man natürlich auch die (Quadrat-)Wurzel der Fläche als Durchmesserannehmen.]

Zweiter Klammer-Ausdruck (hochgestellte Klammer): der Helligkeits-Umrechnungsfaktor

Weil Zielobjekt und Referenzobjekt aber - bei gleicher Fläche (!) - selten dieselbe Helligkeit haben werden, müssen wir auch den reinen Leuchtkraft-Beitrag (Leuchtkraft-Unterschied)in die Formel einbringen. (Siehe die Gesamt-Andromeda-Galaxie, d.h. nicht nur den Kern) im Vergleich zum Eskimo-Nebel in untenstehender Tabelle). Bei der (reinen) Leuchtkraft handelt es sich also einen zweiten Beitrag zurGesamt-Flächenhelligkeit. Dieser Teil der Formel (Differenz zwischen der visuellen Helligkeit von M 57 und der - aus einem Katalog entnommenen - visuellen Helligkeit des Zielobjektes) wird mittels der Basis 2,512 in die spezielle„Sprache" der logarithmischen Magnitudenskala „übersetzt" (deshalb 2,512 als „Basis“ vor der Klammer-Hochzahl).

Multiplikation der beiden Umrechnungsfaktoren: der Flächen UND Helligkeits-Umrechnungsfaktor


Es handelt sich um das x in der Mitte zwischen den beiden gerade erklärten Formelteilen. In das Produkt, den (Gesamt-) Flächen-Helligkeits-Faktor, der die Basis für die Bestimmung der neuen Magnitude ist, gehtalso sowohl ein Flächen-Element, als auch ein Leuchtkraft-Element ein: Ein Nebel, der genau die gleiche Fläche wie M 57 hat, wird ja wahrscheinlich kaum auch noch genau die gleiche Leuchtkraft haben.

Schließlich das „log“ über dem Bruch und die Division durch 1 / 2,512


Dies ist durch die logarithmische Skala der Magnituden (mit der Basis 2,512) bedingt (siehe weiter oben).

Vereinfachung:

Um weiter zu vereinfachen, kann man erst mal bei 2,512 zwei Stellen hinter dem Komma weg lassen und den komplexen Bruch 1/1/2,5 anders schreiben und erhält dannFolgendes:

M fl (Z) = 9,0 mag - log [ (70“ / Ø Z) ² x2,5 ^{(9,0 - M vis (Z))} ] / 0,4

Und weiter:

M fl(Z) = M vis (Z) + 5 x log Ø Z - 5 x log 70“

[Fragt mich bitte nicht, wie man dahin kommt: die Umformung stammt von o.a. Autoren; es ist aber nicht erklärt, wie sie dahinkommen und ich habees nicht geschafft, dies nachzuvollziehen. Allerdings wurden dort Beispiele angegeben (Crabnebel, M 33, M74, usw, siehe weiter unten, und ich habe die Beispiele mit beiden Versionen der Formel nachgerechnet und das Resultatist immer identisch].

Und schließlich:

M fl(Z) = M vis (Z) + 5 x log Ø Z - 9,23

Wenn man diese Formel im Taschenrechner (oder im Kopf ?) hat, braucht man also nur die visuelle Helligkeit des Zielobjektes m vis(Z) und den Durchmesser des Zielobjektes in Bogensekunden Ø Z, um eine „richtigere“ Helligkeit (Flächenhelligkeit) für das Auge zu bekommen.

Ein paar Beispiele (nicht vergessen: Bogen-Minuten in Bogen-Sekunden umrechnen !)

Interessant ist ein Vergleich zwischen den Beiträgen der Fläche und der (reinen) Leuchtkraft zwischen dem Eskimo Nebel und de’r Andromeda-Galaxie: 21,8 auf der „Flächen“-Seite (kleine Fläche) beim Eskimo-Nebel gegen 75,9 auf der (reinen) Leuchtkraft-Seite (aber Riesenfläche) bei der Andromeda-Galaxie.
Man sieht sehr klar, daß auch ein starker Beitrag auf der (reinen) Leuchtkraft-Seite („75,9“ für die Andromeda-Galaxie, und „13,2“ für die Dreieck-Galaxie) nichts, aber ein gar nichts, daran ändern kann, daß die Leuchtfläche „breitgetreten“ ist.

Ich verstehe immer noch nicht genau, warum eigentlich ein Fotoapparat die Gesamt-Flächenhelligkeiten eher wie ein Punkt (oder jedenfalls „heller“) sieht, als einAuge, ... ... aber warum das Auge (m fl = 6,6 mag) den Eskimo-Nebel fast ohne Hilfsmittel sehen können müßte (an der Sichtbarkeits-Grenze von 6,5 mag bei sehreinem dunklen Himmel), während man mittels Kamera eine m vis von 9,9 mag festgelegt hat !

Vielleicht gibt es einen Foto-Experten, der sich in einer Erklärung versuchen würde ?

Nachdenkliche Grüße

Anlage: "Surface brightness" nach dem Saguaro-Katalog (Formel unbekannt) gegen o.a. Formel für ausgewählte Frühlings- und herbst Edge-on Galaxien.