Womit man sich so herumschlägt - Ermittlung der Konischen Konstanten

  • Quote from Rudi

    ich werfe das Handtuch !


    Eric war auf dem richtigen Weg. ... es geht darum, der Sache auf den Grund zu gehen, und nicht auf irgendwelche Softwares zu verweisen.


    Eric hat versucht, die "Formel" zu finden, aber Wolfgang hat mit dem roten Satz, den "Ruf" vergessen, den die Deutschen im Ausland haben.

    Hallo Rudi,


    Der richtige Weg stellt sich eigentlich erst ganz am Ende heraus. Wenn ich in Beitrag #19 den Unterschied deutlich machen wollte, dann auch deshalb,
    weil man in der Literatur zwar die Formel für die Pfeilhöhe der Kegelschnitte findet, leider aber nicht für die Schnittweiten-Differenz. Und genau die
    braucht man, wenn man eine Hyperbel vermessen will. Dieser Gedanke stand hinter meinem kritisierten roten Satz. Ich suche hier tatsächlich die
    richtige Formel für die SchnittweitenDifferenz, bei der auch die Parabel mit k=-1 keine Fehlermeldung verursacht. Deswegen bin ich an einer Formel
    interessiert von Eric zur SchnittweitenDifferenz für alle Kegelschnitte.

    Nun muß ich ja NICHT einen vermeintlich schlechten Ruf von uns Deutschen im Ausland korrigieren oder gegen einen anderen schlechten Ruf
    aufwiegen. Die Neigung eines Durchschnitts-Franzosen Deutsch zu lernen ist umgekehrt wohl ähnlich stark ausgeprägt, wie bei uns. Europäische
    Kriege - alle gegen alle - werden irgendwann hoffentlich der Vergangenheit angehören.


    Die Reproduktion meines europaweiten Gen-Pools hat vor 72 Jahren zu meiner Person geführt, und nur für diese Person bin ich verantwortlich. Wenn
    man sich versehentlich in einer Schublade wiederfindet, dann muß das nicht an mir liegen. Jedenfalls überarbeite ich meinen Bericht ein weiteres Mal
    und nehme dankbar jede verfügbare Hilfe an.


    noch ne kurze Geschichte:
    Einstens sollte ein breiter Fluß die Gesamtheit aller Primaten geteilt haben in Bonobos auf der einen und Schimpansen auf der anderen Seite.
    Im Laufe der Entwicklung lösten die Bonobos ihre Konflikte mit Sex, die Schimpansen mit Krieg. Leider sind wir offenbar die Nachfahren der
    Schimpansen. Angesichts der Überzahl unserer Speszies, scheinen Krieg der Versuch zu sein, unsere Spezies im Zaum zu halten. Trump sei
    mein Zeuge.

  • Hallo Rudi, Wolfgang,


    mir ist es wichtig, dass wenn man Lücken in der bisherigen Überprüfung von Optiken entdeckt hat, das diese durch Alle die dazu etwas beitragen können, geschlossen werden!


    Daher war ich über den Grenzen/Sprachen übergreifenden Beiträge mit Deiner Vermittlung sehr begeistert!
    Nun sollten wir eine Sprache finden, ob in Worten oder Daten oder der Gegenüberstellung von Parametern, die in den zwei Muttersprachen scheinbar grammatisch unterschiedlich eingesetzt werden, auf einen Nenner zu bringen!
    So wie ich das sehe hat Wolfgang das mit der starken Rotschrifft nochmal unterstreichen wollen was Er eigentlich sucht, also keine Befehlsschrift aus den 1940ger Jahren!
    Hier ist Heute das hervorheben in Rot, eine gängige Methode um die Wichtigkeit, des Gesuchten zu markieren, nicht mehr!


    Genauso wie in der Rauheitsdiskussion ist es hier wichtig, zu den vielen veröffentlichen Forschungsbeiträgen, die mit oft unterschiedlichen Begriffe aus 2 Sprachen agieren, auf einen Nenner zu bringen, damit man auf beiden Seiten weis, dass man das über das Selbe redet!


    Dazu gehört, das man immer erkennt das alle Nachfragen, nur der genaueren Beschreibung das Gesuchten zum Ziel hat, und keinesfalls, einen Kenntnisstand oder die Testmethoden des Anderen dazu in Frage stellt!


    Ich weiß nur, das Erfindungen und Entdeckungen oft wegen der National unterschiedlicher Urheberschaft Anerkennung, verschiedene Bezeichnungen in den Beschreibungen, in den Formeln ( hier oft auch unterschiedliche Klammern Arten für die Rechenfunktionen ) haben können!


    Gut wäre also wenn, Eric und Wolfgang noch mal alle Formeln und Bergriffe die zu dem Thema von den bekannten und gesuchten Parameter, kurz auflisten und jede Seite, die im bekannte Bezeichnung und Anwendung in französisch und englisch und in deutsch und englisch dahinter schreiben!


    Nur so kommt man weiter, danach kann Jeder, auf der Liste das markieren, was Er sucht oder meint verstanden zu haben, um weiter nachfragen zu können oder das als verstanden Abhaken kann!


    Ich hatte die Bilder des Newton Spiegels nur als Beispiele verstanden, um kenntlich zu machen, von welche Stellen im I - Gramm Wolfgang, welche Parameter Er, von den Linien und der Überschneidung braucht, die Er bei der Auswertung für einen Hybebolischen Spiegel sucht!


    Wäre schön wenn es auf dieser Basis weiter fruchtbaren Kontakt und Diskussionen gibt!




    Gruß Günter

    http://www.g2-astronomie.de


    GSO 12" Dobson teilbarer Alu-Tubus, C8-Orange, C8-Schmidtkamera, Comet-Catcher, MTO100/1000 MAK, Skywatcher ED 80 PRO, Skywatcher 8" Dobson, Skywatcher Maksutov SKM 127 / 1500

  • Dem Günther zunächst vielen Dank. Richtig, das war meine Absicht: Ich suche die math. Formel für die Schnittweiten-Differenz
    zwischen dem Lichtstrahl in der Mitte, was dem Radius dort entspricht und einem Lichtstrahl vom Rand. Dieser Randstrahl schneidet
    ebenfalls die Achse, aber etwas weiter hinten. Und diese Differenz kann man opt. messen und damit auf die konische Konstante
    umrechnen.
    Der Weg dorthin: Man braucht eine Funktionsgleichung der Hyperbel mit den Parametern "h", Radius-Mitte und "k" (kon. Konstante)
    In Punkt "h" legt man eine Tangente an und dazu eine Normale. Dadurch ergibt sich eine Differenz. Ich suche also die Formel für
    diese Strecke.
    Vielleicht schickt mir der Rudi die Emailadresse vom Eric und wir korrespondieren in Englisch.

  • Vielen Dank Euch allen !


    Im Prinzip hattest Du ja Recht, Wolfgang, ... wir suchten die Formel !
    Aber Dein «Outburst» kam im falschen Moment.


    Meine Verständnis von einem Forum ist, daß man da - arbeitsteilig - gegenseitig Erfahrungen und Wissen austauscht.


    Es war eine sehr großes Mißgeschick, daß Eric - wohl weil er nicht genügend Deutsch kann - glaubte der Parabolspeigel sei der Hyperbolspiegel, und deshalb - wohl - eine ganze Menge Arbeit umsonst gemacht hat.


    Ich wollte «das Pflänzchen hegen», welches Eric gerade angebaut hatte, denn ich bin überzeugt, er war auf dem richtigen Weg, ... und dann kam Dein «Schrei» nach der Formel.


    ... Genauer gesagt, kam zunächst (nach Fr.g.) nochmal ein «Nebelkerzen-Wurf», diesmal von Sixela, mit dem Hinweis auf eine - andere - Software.


    Wenn Sixela schreibt (ich hoffe er liest das), daß ich zu faul sei, die Formel selber zu suchen, dann hat er Recht. Ich bräuchte sehr, sehr lange dazu, denn ich habe (außer vielleicht mit ein bißchen Finanzmathematik), über 40 Jahre meines Lebens mit Mathe wenig am Hut gehabt. ... Aber andere haben ihr ganzes Leben mit Mathe gearbeitet. Und da habe ich halt an die Arbeitsteilung auf dem / den Forum / Fora geglaubt: ich mache die Übersetzungen und die Methematiker bringen ihren Beitrag.


    Wenn Sixela mir dann aber - nachdem er zunächst erneut Nebelkerzen geworfen hat (und ich gesagt habe, meine Tochter würde sagen, das sei «null») - sagt, ich solle ihm 500 euro pro Stunde bezahlen (inzwischen wieder gelöscht), damit er die Formel findet (das ist ungefähr der Stundensartz von Partnern bei Unternehmenberatern), dann weiß ich woher der Wind weht. Dann sagt er mir noch, man solle seinem «Meister» nicht in die Hand beißen ?? ... Da hat er etwas ganz wichtiges im Leben vergessen: der Mensch entscheidet nicht von sich aus, «top-down», ob er Meister von jemand (einem Lehrling) ist, sondern der Mensch fragt jemanden, oftmals implizit, ob er sein Meister sein will («bottom-up»). So wie ich es bei Wolfgang gemacht habe.


    Ich habe Dich nicht gefragt, Sixela, ob Du mein Meister sein willst ! Wie kannst Du nur so etwas sagen ? Da ist ja furchtbar !



    Edit: der Korrektheit halber: ich denke, ihr habt es gesehen, Sixela hat seinen Beitrag geändert (siehe oben blau im Beitrag; daher wohl auch die Frage von Günter nach den Formeln); ich hatte da nicht mehr reingeschaut. Er gibt folgende Formel an:


    (1+K)²x²-2Rx+y²=0


    und verweist auf folgenden Link: http://telescope-optics.net/conics_and_aberrations.htm


    [Ich schau mal, ob ich dem Eric auf dem frz. Forum eine PM schicken kann].


    Gruß

  • Hallo zusammen,
    wenn ich mich recht erinnere ist die Hyperbel durch eine Funktionsgleichung ( y = f(x) ) mathematisch beschreibbar.
    Damit kann man für jeden Punkt auf der Hyperbelkurve den entsprechenden Wert der Koordinaten (x,y) ermitteln.
    Die erste Ableitung (Differential) dieser Funktion ergibt für jeden Punkt auf der Hyperbel den Anstig der Sekante.
    Mit diesen Werten sollte sich rein trigonometrisch der Schnittpunkt jedes Strahls mit der X-Achse berechnen lassen.
    Problem ist für einen gegebenen Hyperbolspiegel mit z.B. k=-1,5 die Funktionsgleichung (y=f(x))der Hyperbel zu ermitteln.
    Vielleicht kann da ein Mathematiker helfen.
    Beste Grüße, Joachim

  • Stimmt, der Zit:"Schrei nach der Formel . . ."
    Meine Mathe-Vorabitur ist jetzt 49 Jahre her. Die 1. Ableitung in Punkt h ist die Steigung. Die Normale im gleichen Punkt
    schneidet sich mit der Achse. Daraus kann man dann die Schnittweiten-Differenz ermitteln. Soviel habe ich noch behalten.


    Mit dem Optical Design Program ZEMAX kann man das prima rechnen - wenn man dieses Programm hat und benutzt.
    Trifft bei mir zu. Zur Kontrolle wüßte ich aber gern, wie genau ZEMAX rechnet: Über die gesuchte Gleichung und für
    alle diejenigen, die kein ZEMAX haben. (Wobei nicht die Pfeilhöhe gesucht ist, sondern die Schnittweiten-Differenz.)


    Bei der Frage, wie genau diese Schnittweiten-Differenz-Messung funktioniert: Mit einem Interferometer jedenfalls
    etwas genauer. Noch genauer wäre aber der Ross-Null-Test. Nachdem ich aber über die fraglichen Bilder
    aber Newton 397 R 3549 konische Konstante -1.0 geschrieben hatte, dachte ich, daß diese Erklärung reicht.
    Die augenblicklich von mir verwendeten Formel kommt dem ZEMAX Ergebnis auf ca. 0.02 mm nahe, also hinreichend genau.


    Prinzipiell ergibt sich das Problem aus der Meßtechnik, wenn man wissen will, ob ein Hyperbolspiegel die richtige
    Konische Konstante hat.

  • Hallo Joachim,


    Du hast Recht: wir brauchen Übersetzer die Mathe können und Mathematiker, die (in die Alltagssprache) übersetzen können.


    Und um Wolfgang's Geschichte von weiter oben auch noch mit einzubeziehen: wir brauchen Krieger, die Sex nicht (nur) als Vergewaltigung verstehen und "Leute die im Bett gut sind", die ... jetzt wird es schwierig ... sich nicht immer sagen: "The battle of the sexes can never be won, there is to much fraternization with the ennemy".


    [Bin mal gespannt, was in Katalonien (Barcelona) passiert]


    Danke !

  • Zur Sache: Ich hätte hier drei ähnliche Formeln. Zu den Ergebnissen aus ZEMAX unterscheiden sie sich
    um ca. max 0.03 mm, was eigentlich hinreichend genau ist, sowohl über ZEMAX oder eben die Formeln.
    Ich muß wohl Nachhilfe in Mathe nehmen, damit ich die Formel auch math. herleiten kann, da die Formeln
    von einem örtlichen Mathematiker stammen.Ich wüßte gerne, mit welchen Formeln Eric rechnet.



    Zur Philosophie und als temporärer Mit-Bewohner auf diesem Planeten sehe ich die Reproduktion all dieser
    Kreaturen meist von außen: Ich kann förmlich das Stöhnen unserer Mutter Erde hören, die unter der Krankheit
    "Homo Sapiens" leidet.Ich wüßte auch gerne, was sich unsere Mitbewohner mit ihrem Denk-Organ so denken.


  • Im Beitrag Nr. 13 auf dem frz. Forum verwies Eric auf wikipedia und bezog seine Formeln darauf. ich hatte das nicht übersetzt, da praktisch nur Formeln, aber im Edit meines Beitrages Nr. 6 hier erwähnt. Hier nochmal die Stelle:


    "Cette fois, je suis allé voir sur wikipedia

    Rayon du cercle osculateur [= Krümmungsradius Radius des Krümmungs- / Schmieg- kreises (siehe weiter unten)]

    r = (e²x² - a²)^(3/2) / ab


    Avec l'équation du dessus, on remplace x par y [= in obiger Formel, x durch y ersetzt]:

    r = (e² a²(1 + y²/b²) - a²)^(3/2) / ab


    r = a² (e² (1 + y²/b²) - 1) / b


    y étant la distance depuis le centre du miroir" [wobei y die Distanz vom Spiegelzentrum ist].


    ------------------------------------------------------------------------------------
    N.B Ich habe Eric eine PN geschrieben, aber noch keine Antwort !

  • Hallo Rudi,


    Ich bin mir gar nicht sicher, ob wir von der gleichen Sache reden: Der Krümmungs-"Radius" = r ist der Radius im Scheitelpunkt der Hyperbel
    auf der waagrechten x-Achse. Da es aber kein Kreis-Bogen (Sphäre) ist, sondern ein flacher Hyperbel-Graph, schneidet der Randstrahl dieser Hyperbel
    den Endpunkt auf der x-Achse etwas weiter hinten also: Und das wäre dann die Schnittweiten-Differenz = d (wie Differenz)
    Das wäre der erwähnte Bericht, spätestens mit Link in Post # 02 mitgeliefert:
    http://r2.astro-foren.com/inde…mpensation-einer-hyperbel


    und das ist die dazu erklärende Zeichnung im Berichtes # E085. Ich habe natürlich angenommen, daß wir auf dieser Basis diskutieren.



    Bei der Sphäre wäre die Schnittweiten-Differenz Null, bei der Parabel d(diff) = h^2 / (2*r), und bei der Hyperbel noch größer. Dazu war im Bericht
    die obere Zeichnung veröffentlicht, und zuletzt meine drei Formeln.


    Es muß also bei Eric eine ähnliche Formel auftauchen, und nur dann reden wir von der gleichen Sache !

  • Hallo Rudi,


    "Ich bin mir gar nicht sicher, ob wir von der gleichen Sache reden: Der Krümmungs-"Radius" = r ist der Radius im Scheitelpunkt der Hyperbel
    auf der waagrechten x-Achse. Da es aber kein Kreis-Bogen (Sphäre) ist, sondern ein flacher Hyperbel-Graph, schneidet der Randstrahl dieser Hyperbel
    den Endpunkt auf der x-Achse etwas weiter hinten ..."

    Ja sorry,


    mein Übersetzungsfehler, ... ich war heute mittag entspannt, weil (ich gedacht habe, daß) ich ja nicht "quasi-professionnel" übersetzen muß(te), ... ich habe nicht (wirklich) nachgedacht und - vorallem - den Begriff "cercle osculateur" nicht überprüft ... ... ... und prompt hat sich ein Fehler eingeschlichen.


    "Cercle osculateur" heißt in Wirklichkeit "(An-)Schmiegungs-Kurve":


    https://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_osculateur


    https://de.glosbe.com/fr/de/cercle%20osculateur


    https://link.springer.com/chap….1007/978-3-642-52654-1_9


    bzw. es ist der Kreis, der sich im Scheitelpunkt an die Hyperbel am besten "anschmiegt" (siehe wikipedia.de, ... finde die genaue Stelle jetzt nicht sofort wieder, aber ich habe das 100%ig irgendwo gelesen und so verstanden).


    Ich bin überzeugt, das ist in der Excel-Tabelle aus Beitrag Nr. 18 weiter oben, ... aber die habe ich auch nicht (und im frz. Forum ist auch nur ein Screenshot von der Tabelle, man kann also die Formeln nicht sehen).


    Aber wir finden das schon noch !


    Edit: so ganz daneben lag ich auch wieder nicht: https://de.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%BCmmungskreis; das "Ding" heißt auch Krümmungskreis !


    [/color]

  • Hallo Wolfagng,


    mal was ganz anderes: hast Du diesen Thread gesehen: Du bist oft (und positiv) genannt (u.a. "independent"), aber mir geht es besonders um Beitrag Nr. 58 !


    https://www.cloudynights.com/t…us-vs-orion-optics/page-3


    (hallo Bengt ;);) !)


    Sorry für das ablenkende Intermezzo ("I am learning").

  • Siehe zum Krümmungskreis (Schmiegekreis) auch noch hier: http://www.tm-mathe.de/Themen/html/kruemmung.html


    Wenn es für jeden Punkt der Hyperbel einen Krümmungskreis mit - anderem - Krümmungsradius gibt, kann man die Schnittweitendifferenz wahrscheinlich auch über den Radius dieser Kreise berechnen (d.h. über die Gesamtheit der Differenzen der Radii aller Punkte auf der Hyperbel, bzw der von Dir vermessenen Punkte auf dem Hyperboloid: Mitte, 0.707 Zone und Rand).


    ... Aber das ist mir, ehrlich gesagt, zu hoch.


    Es kommt noch hinzu, was auch Sixela und Franck (wohl) sagen, dass, wenn der Spiegel nicht perfekt rotationssymmetrisch ist (was ja für handgeschliffene Spiegel kaum der Fall sein wird), man für links und rechts und oben und unten für gleiche (!) Abstände vom Zentrum des Spiegels unterschiedliche Werte erhält.


    Gruss

  • Die Schnittweiten-Differenz kann doch bei einem hyperbolischen Spiegel nur "ungenau" sein oder nicht ? Jeder einzelne Schleifgang erzeugt doch einen neuen Scheitelpunkt und auch einen neuen Krümmungsradius. Ich mein, wer soll denn bitte eine genaue Hyperbel schleifen ?! Bis wohin geht denn die Hyperbel, wirklich bis zum Rand des Spiegels ?


    Andere Frage. Könnte man anhand einer Couder Maske die "Brennpunkte ermitteln ? Bzw., ist die Couder Maske an einer Hyperbel anwendbar ?


    Gruss Bengt

  • Hallo Bengt,


    ja Du hast Recht (auch mit der Couder-Maske, Franck hat die weiter oben auch schon erwähnt).


    Aber man braucht doch zunächst mal eine "Idealkurve" mit der man die Werte von dem konkreten Spiegel vergleichen kann; ... und wenn man die Werte der idealkurve nicht hat (unbekannter Spiegel), dann muß man erst eine - theoretisch perfekte - Form des Spiegels (der 3-dimensionalen Hyperbel / des Hyperbolids) finden, d.h. eine Idealkurve aus den gefunden Werten ableiten / interpolieren (oder wie Du das nennen willst), bevor man den Spiegel dann konkret mit der so gefundene Ideal"schüssel" vergleicht.


    N.B. Wenn Du die optische - Brennweite des (hyperbolischen) Spiegels waagrecht vom Zentrum an der Oberfläche des Spiegels aus (ermittelt) hast, dann ist das nicht identisch mit der Brennweite der Hyperbel ! Siehe das Bild unten, welches von hier stammt https://de.wikipedia.org/wiki/…rizit%C3%A4t_(Mathematik) 2. Bild rechts. Die Brennweite der Hyperbel ist der Abstand "M" (Punkt hinter der Spiegeloberfläche) - "F1", auch "ε" = "Exzentrizität" genannt. Und die muß man zualler erst mal finden !



    Noch was (ich will nicht belehren, Bengt, ich will nur (auch für mich), daß das alles mal irgendwo zusammen im Thread steht):

    https://de.wikipedia.org/wiki/Konische_Konstante
    "Ist die konische Konstante k kleiner oder gleich Null [also für Ellipse, Parabel, Hyperbel], so steht sie mit der numerischen Exzentrizität ε der Kegelschnittlinie in folgendem Zusammenhang:
    k = − ε^2 ".


    Lieben Gruß

  • Hallo Wolfgang,
    ich hatte übersehen dass du bereits vor meinem Kommentar zu diesem Thema den Hinweis
    hinsichtlich Funktionsgleichung der Hyperbel gegeben hattest. Die von dir verwendete Formel
    für die Schnittweitendifferenz d (bei hmax) ist ja sicher aus einer/der Funktionsgleichung abgeleitet
    und nicht empirisch entstanden. Programme zeigen aufgrund interner Rechengenauigkeit (Abrundungen)
    oft "Rechenungenauigkeiten". Bei der Tabellenkalkulation mit Excel z.B. ergaben sich nach Division
    und Addition bei 1000er Euro - Geldbeträgen auch Abweichungen im Cent-Bereich die nur durch genaue
    Definition/Programmierung der einzelnen Rechenschritte vermieden werden konnten.
    Als Spiegelschleifer würde mich in diesem Zusammenhang auch interessieren welche Formelgrundlagen
    andere Auswertprogramme hinsichtlich kon.Konstante verwenden. Es wird oft behauptet das die
    Interferometrische Auswertung genauere Ergebnisse liefert als die "veraltete" Foucault" Zonenmessung.
    Woher soll diese höhere Genauigkeit kommen - ist die Bildauswertung der Interferenzlinien genauer als
    eine präzise Zonenmessung ? Die Grundlage für die Umsetzung der Messergebnisse in Strehl Aussagen
    sollte in jedem Fall gleich sein da es für eine gegebene Parabel/Hyperbel auch nur eine Funktionsgleichung
    geben kann.
    Beste Grüße, Joachim

  • Hallo zusammen,
    hier noch eine/die Grundformel: Y² - 2RX + (k +1) x X² = 0
    Aus meiner Sicht müsste die erste Ableitung dieser Funktion in Kombination mit der Formel für die
    Pfeiltiefe als Grundlage für die Schnittweiten auf der X - Achse passen. ( R=Krümmungsradius im Scheitel,
    k= konische Konstante, Y=Einfallshöhe "h". Ich werde mich wohl die nächsten Tage/Wochen mal wieder
    mit der "Analysis" beschäftigen - hilft sicher auch einige graue Zellen wieder einzufärben.
    Beste Grüße, Joachim

  • Hallo Joachim,


    das war auch ziemlich genau mein Gedankengang:
    Wobei man unterscheiden muß zwischen der Pfeilhöhe der jeweiligen Kurve und
    der SchnittweitenDifferenz der Lichtstrahlen aus Mitte und Rand.
    a) bei der Sphäre gibt es keine SchnittweitenDifferenz, aber die Pfeilhöhe ist von allen am größten.
    b) bei der Parabel ist Pfeilhöhe und SchnittweitenDifferenz gleich groß
    b) die Hyperbel ist flacher, die Pfeilhöhe kleiner als bei der Parabel, dafür die SchnittweitenDifferenz größer.


    Also wird der Lösungsweg über die Scheitelgleichung / Tangente / Normale und den Schnittpunkt mit der x-Achse gehen.
    Man wird also in jedem Fall eine Formel brauchen. Die für die Pfeilhöhe findet man bei Rutten und Massimo Riccardi.
    Für die Schnittweiten-Differenz muß man selber entwickeln. Es geht auch über ZEMAX, aber das hat nicht jeder. Also
    suchte ich eine Formel für die Normal-Sterblichen.