SQM und Grenz- Mag: Umrechnung von Himmels-Hintergrundhelligkeit in Stern-Grenzhelligkeit in Magnituden

  • Hallo,


    Das Thema hatte mich in ähnlicher Weise schon mal beschäftigt: „Falsche Magnituden“ und eine Formel, die realistischere Zahlen liefert ?


    Kürzlich bin ich wieder auf die Frage gestossen. Ein Sky Quality Meter zeigt die Helligkeit des Himmelshintergrundes an. Dieses miβt die Flächenhelligkeit, in Magnituden pro Quadrat-Bogensekunde (mag/arcsec^2) ausgedrückt. Die Magnitude allein ist aber eigentlich ein Maβ für die Punkthelligkeit, welches zudem noch auf einer logarithmischen Skala angegeben ist.


    Umrechnen von SQM (Hintergrundhelligkeit) auf Mag (Grenzhelligkeit) scheint da schwierig, bzw. es geht gar nicht.


    Jetzt habe ich aber gelesen, dass man beim Vorübergang von Asteroiden vor Sternen den Durchmesser der Sterne direkt messen konnte. Der 10mag2 helle Stern TYCHO 5517-227-1 hat danach offenbar einen Durchmesser von 0,125 Millibogensekunden und TYCHO 278-748-1 ist mit unter einer 10.000stel Bogensekunde sogar noch kleiner; siehe:


    https://www.wissenschaft.de/as…oessen-ferner-sterne-auf/


    und


    https://skyandtelescope.org/as…-asteroids-measure-stars/


    Die beiden Riesensterne β CMa (1mag98) und ε Ori (1mag7) liegen demgegenüber bei Durchmessern von 0.5 Millibogensekunden, siehe :


    https://www.pro-physik.de/nach…durchmesser-ferner-sterne


    Kann man damit nicht etwas anfangen ?


    Den Sterndurchmesser von β CMa kann man mit der Kreisflächen-Formel F = pi/4*d^2 in eine Fläche von 0,1963 Quadrat-Millibogensekunden umrechnen. Die Fläche der beiden Riesen wäre demnach je rund 0,2 Quadrat-Millibogensekunden oder 0,0002 (1/5000stel) Quadrat-Bogensekunden.


    Wenn man das punktförmige Licht von β CMa also auf 1 Quadrat-Bogensekunde verteilen würde, wäre das Licht somit eigentlich (im Dezimal-Zahlensystem) 5000 mal schwächer.


    Jetzt kann man aber die Magnitude von β CMa nicht einfach durch 5000 dividieren, um die der Himmelshintergrundhelligkeit (die ja in mag pro arcsec^2 angegeben wird) entsprechende Grenzhelligkeit zu errechnen, weil die Magnitudenskala logarithmisch ist. Da die Basis dieses Magnituden-Logarithmus nicht « standard » ist (= 10 oder 2 oder die Euler’sche Zahl), sondern 2.514, kann dieser nicht auf einem normalen Taschenrechner gerechnet werden. Aber hier ist ein Link zu einem Online-Rechner :


    https://rechneronline.de/logarithmus/


    • [Wenn man dort als Logaritmand 100 eingibt und als Exponent 5 (die Gröβenklαssen zwischen 1 und 6), sieht man sehr schön, daβ die Basis der (klassischen) Magnitudenskala mit 6 visuellen Grössenklassen (plus, später hinzukommend, die nullte und negative) mit 2.514 so gewählt wurde, dass der Abstand zwischen der ersten und der 6. Grössenklasse im Dezimalsystem 100 beträgt.]


    Der Magnitudenunterschied zwischen beiden Methoden bei β CMa ist 9.2 mag, weil der Logarithmand = 5000 und die Basis des Magnitudenlogarithmus = 2.514 ist. … Das bedeutet, daβ, wenn man die Zahl (= Basis) von 2.514 etwa 9,2 mal mit sich selbst multipliziert, das dann 5000 ergibt; siehe dazu auch meinen alten Beitrag im Link weiter oben. Wenn β CMa also, bei gleicher Leuchtkraft (!), 1 Quadrat-Bogensekunde gross wäre, hätte er 11.2 mag/arcsec^2.


    Die Himmelshintergrund-Helligkeit (bei wirklich dunklem Himmel) ist demgegenüber 22 mag/arcsec^2; siehe dazu Brian Skiffs schönen Artikel hier:


    https://www.astropix.com/html/l_story/skybrite.html


    Man kann sich das so vorstellen, dass die Helligkeit des Himmelhintergrundes der Situation entspricht, bei der der ganze Himmel mit Sternen einer Fläche / Gröβe von 22 mag/arcsec^2 « gepflastert » ist (die Sterne stehen « dicht an dicht »). Selbst der « breitgetretene » (auf 1 arcsec^2 erweiterte) β CMa mit 11.2 mag würde sich da also theoretisch noch deutlich abheben.


    Aber hat diese Umrechnung jetzt wirklich was gebracht ?


    Wir können ja die 11.2 mag nicht mit blossem Auge sehen. … Jeder weiss das, denn das ist ein allgemeiner Erfahrungswert. Das hat aber nicht mit der Hintergrundhelligkeit zu tun, sondern (wohl hauptsächlich) mit der beschränkten Lichtsammelfähigkeit unseres Auges.


    ... ... ... Oder können wir die 11.2 mag doch sehen, denn eigentlich hat β CMa ja in Wirklichkeit 1.98 mag ???


    Man könnte umgekehrt auch von der Tatsache ausgehen, daβ, wie oben dargelegt, die Durchmesser der Sterne irgendwo zwischen 0.1 und 0.5 Millibogensekunden liegen (d.h. eine Leuchtfläche von zwischen 0.1 und 0.25 Quadrat-Millibogensekunden haben) und die Hintergrundhelligkeit des Nachthimmels dann auf - sagen wir mal – eine milliarcsec^2 umrechnen. (Rein mathematisch scheint das zu gehen).


    Aber – mal abgesehen davon, dass die Sky Quality Messgeräte das nicht so machen, sondern mit mag pro arcsec^2 rechnen - dürfen wir das überhaupt ? Vergleichen wir denn da nicht Äpfel mit Birnen ? Kann man punktförmige Lichtquellen überhaupt mit Flächenhelligkeiten (Galaxien, Gasnebeln) vergleichen ? Was würde geschehen, wenn wir die Himmelhintergrundhelligkeit in milliarsec^2 angeben würden ? Dann müβte man einen Auscchnitt einer Galaxie wâhlen (z.B. das Zentrum) um rcihtig vergleichen zu können.


    Also: die Wissenschaft gibt zwar Magnituden auch für Galaxien und Gasnebel an, … aber ich habe mich schon in o.a alten Beitrag gefragt, ob das denn so richtig ist.


    Und jetzt bin ich wieder keinen Schritt weiter.


    ----


    Was man aber mit Sicherheit machen kann, ist von Erfahrungswerten auszugehen :


    Kaum jemand hat jemals berichtet, von der Erde aus Sterne mit 8 mag gesehen zu haben (siehe aber den zitierten Artikel von Brian Skiff). Wenn wir mal davon ausgehen, dass auch eine Grenzgrösse von 7.5 mag visuell extrem selten ist, dann scheint es gerechtfertigt, in unseren Breiten von maximal 7.0 mag als Grenzgrösse auszugehen, bis zu der man bei extrem guten Himmel noch Sterne mit dem blossen Auge sehen kann. Setzt man diese nun mit einer maximaldunklen Hintergrundhelligkeit von 22 mag/arcsec^2 gleich (bei den von Brian Skiff aus Wüstengebieten und den Anden berichteten Beobachtungen muss man sich die Frage stellen, ob man da nicht auch die 22 auf 23 mag/arcsec^2 erhöhen muss), dann kann man für schlechtere Himmelhintergründe (Lichtverschmutzung, Nebel, Dunst) folgende Interpolationen machen:



    Das Ganze kann man sich sehr einfach merken, weil wenn man den Abstand von SQM 22 auf 21 von 0.6 mag im Kopf behält (Eselsbrücke sind die 6 klassischen Magnituden), die weiteren Abstände (von SQM 21 auf 20 und von SQM 20 auf 19 usw.) jeweils um 0.1 mag grösser werden.


    Die Quelle der Interpolations-Berechnungen findet ihr hier (runterscrollen bis zum Untertitel « SQM Reading ») :


    https://www.cruxis.com/scope/limitingmagnitude.htm


    Und wenn man jetzt noch das Sternbild kleiner Wagen ein bisschen kennt, braucht man gar kein SQM !


    Clear Skies



    Edit: Ich habe noch mal weiter nachgedacht. Wenn man die Hintergrundhelligkeit auf milliarcsec^2 umrechnet, erhält man mit dem Logarithmusrechner weiter oben einen Magnitudenunterschied von ~ 15 mag (Logarithmand = 1.000.000 = 1000x1000, da Quadrat-Millibogensekunden). Wenn man die jetzt von den 22 mag des Himmelhintergrundes abzieht, erhält man 7 mag (= Grenzhelligkeit ???).


    Ist das reiner Zufall ?


    Wohl ja ! Das "Abziehen" ist offenbar falsch: man muβ wohl hinzurechnen ! Brian Skiff gibt in seinem Artikel auch die Himmelshintergrund-Helligkeit für Quadrat-Bogenminuten an: 13 mag/arcmin^2. Das entspricht einem Magnitudenunterschied von 9 mag für die Himmelhintergrundhelligkeit im Verhältnis zum Maβstab in arcsec^2; was man mit dem Logarithmusrechner nachrechnen kann (Logarithmand: 3600, da 60"x60"). Aber was Brian Skiffsagt, geht in die andere Richtung: er zieht den Magnitudenunterschied ab (obwohl - in seinem Beispiel - die Fläche grösser (!) wird, d.h. das Licht eigentlich "breitgetreten" wird). Dann müsste man in meinem umgekehrten Beispiel (Verkleinerung der Meβfläche der Helligkeit des Himmelshintergrundes) die 15 mag Unterschied also hinzurechnen.


    Es liegt wohl daran, dass die Helligkeit des Himmelshintergrundes immer gleich bleibt (er leuchtet ja nicht mehr oder weniger, wenn ich den betrachteten Himmelsausschnitt verändere). Allerdings wird weniger Licht (auch des Himmelshintergrundes) gesammelt, wenn ich einen kleineren Himmelsausschnitt betrachte. Weil es auf das "Sammeln" des Lichtes (und nicht auf das "Ausstrahlen") ankommt, muss bei meinem Gedankenexperiment ("Hintergrundhelligkeit in milliarcsec^2") die Hintergrundhelligkeit in mag natürlich schwächer werden. Denn für die reine Magnitudenberechnung wird - wohl (ich finde keine Definition im Netz, wie das Licht bei der Magnitudenrechnung gesammelt wird) - das GESAMTE Licht eines Sternes oder Himmelsobjektes "so genommen, wie es ankommt", egal ob das betrachtete Objekt 3.5 Grad (oder mehr) Ausdehnung hat (Andromedagalaxie) oder nur Quadrat-Millibogensekunden groβ ist, wie das bei Sternen der Fall. (Das ist, wie wenn man fûr die Himmelshintergrundhelligkeit das Licht des gesamten sichtbaren Himmels, d.h. über 180°, einsammeln würde).


    Die Magnitudenangabe ist also "auf das gesamte gesammmelte Licht eines Objektes" bezogen, unabhängig davon wie konzentriert oder verteilt das ankommende Licht ist. Wenn wir aber Sterne und Galaxien vergleichen, macht es bei der Auswahl der Flächenangabe, auf die man sich bezieht (pro arcmin2 oder pro arcsec^2 oder pro milliarcsec^2) nur Sinn, auf das kleinere / kleinste Objekt Bezug zu nehmen also auf den Stern, der nur 0.1 bis 0.5 Millibogesekunden gross ist. Denn ich kann den Stern ja nicht künstlich aufblähen, wohl aber eine Lichtfläche aus einer Galaxie (Zentrum ?) rechnerisch "herausschneiden".


    ... Ehrlich gesagt finde ich deshalb die Angabe von 3.4 mag für die "ganze" (sich über 3.5 Grad erstreckende) Andromedagalaxie und überhaupt die Verwendung der Magnitudenskala (die ja offenbar ohne jeden Flächenbezug auskommt) für Objekte, die keine Sterne sind, wissenschaftlichen Quatsch !

    Rudi


    https://mitdensternentanzen.jimdofree.com/


    "Als er das Verlies verlieβ, fiel er tot um. Dabei war er gar nicht todkrank".

    Frage: alte oder neue Rechtschreibung ?

    Edited 11 times, last by AstroRudi: Verwirrung meinserseits bei der Basis des Magnituden-Logarithmus: Bei einem Logarithmand von 100 darf man nur mit dem UNTERSCHIED zwischen der ersten und sechsten Gröβenklasse rechnen (also fünf Gröβenklassen und damit Exponent 5) und nicht mit 6 Gröβenklassen). ().